La regola di Cartesio applicata alle equazioni di secondo grado
Per risolvere rapidamente le equazioni di secondo grado torna utile la regola di Cartesio. Permette infatti di determinare a priori il segno delle soluzioni senza svolgerle per intero, ma guardando solamente i coefficienti a, b e c. A partire dai loro segni è possibile comprendere quali siano anche quelli che avranno i valori che risolvono l’equazione.
Tale principio si può estendere anche alle equazioni di grado superiore al secondo, una precisazione necessaria in quanto sfruttarlo può aiutare anche gli studenti universitari. Quando si è incerti su come si è svolto un esercizio la regola infatti permette di vedere se i segni previsti sono gli stessi dei risultati che si sono trovati in una verifica o una prova d’esame.
Che cosa dice la regola di Cartesio
Per applicare la regola occorre avere o ricavarsi l’espressione esplicita ax2 +bx + c = 0, dove a, b e c sono numeri reali e in particolare a ≠ 0. La seconda condizione necessaria invece riguarda il valore del discriminante Δ che deve avere essere positivo o uguale a zero (Δ ≥ 0). Questo infatti significa che l’equazione ammette due soluzioni reali, o diverse o che coincidono fra di loro nel caso di Δ = 0.
Per calcolare il discriminante basta svolgere il primo passaggio per risolvere le equazioni di secondo grado e usare la formula b2 – 4ac. A questo punto bisogna considerare il principio su cui si basa la regola di Cartesio. Ovvero che se il prodotto fra due numeri è negativo questi hanno segno discorde, mentre se il prodotto è negativo allora i due fattori hanno lo stesso segno (+ o -).
Rapportandolo ai coefficienti a, b e c dell’equazione la regola fa delle precisazioni. Se rimane lo stesso segno tra due coefficienti affiancati allora si avrà una radice negativa, mentre se si hanno due segni diversi in sequenza si avrà una radice positiva. Si parla di permanenza quando i segni rimangono uguali e di variazione se per esempio a ha segno “+” e b presenta il segno “-“.
Dunque i segni dei coefficienti vanno letti raggruppando i primi due e i secondi due fra di loro. Se ci sono due permanenze entrambe le soluzioni saranno negative, se invece il segno cambia due volte (due variazioni) allora si avranno due valori positivi che risolvono l’equazione.
Sempre la regola stabilisce che l’ordine in cui si presentano la permanenza e la variazione stabilisca ulteriori dettagli relativi alle soluzioni. Se il segno prima cambia tra b e a e poi si mantiene uguale fra b e c allora c’è una soluzione positiva maggiore in valore assoluto di quella negativa. Nel caso contrario (permanenza-variazione) sarà maggiore il valore assoluto della soluzione negativa.
I casi possibili delle equazioni di secondo grado
Prima di vedere degli esempi pratici di applicazione della regola di Cartesio facciamo ordine sulle possibilità che si possono presentare, correlate da esempi:
- I segni di a, b e c sono tutti concordi fra di loro. Per esempio nell’equazione 2x2 + 3x + 8 = 0 tutti e tre i coefficienti hanno segno positivo, mentre nel caso di -4x2 -10x -2 = 0 tutti e tre presentano coefficienti negativi. dato che in questo caso si presentano due permanenze entrambe le soluzioni dell’equazione avranno il segno “-“.
- Il segno varia sia tra a e b che tra b e c. Anche qui possiamo vedere due esempi a seconda che l’ordine dei segni sia “+ – +” (
x2 – 6x + 7 = 0) o “- + -” (-x2 + 4x -9 = 0). Con due variazioni una accanto all’altra secondo la regola di Cartesio allora si avranno entrambe le soluzioni positive.
Segno uguale fra a e b e che varia tra b e c. Per esempio si può avere un caso come l’equazione x2 + 6x -8 = 0 oppure -2x2 -3x + 5 = 0. Con una permanenza e poi una variazione una soluzione è positiva e l’altra negativa, ma quella con valore assoluto maggiore è quella con il segno “-“.
Segno discorde fra a e b ma uguale fra b e c. In un’equazione come 3x2 -5x – 4 = 0 c’è prima una variazione e poi una permanenza. Anche in questo caso quindi ci saranno due soluzioni di segno opposto ma quella con il valore assoluto maggiore sarà quella positiva.
Qualche esempio per applicare la regola di Cartesio
Prendiamo l’equazione x2 -4x -5 = 0. Dato che si presenta già in forma normale non serve fare altri calcoli ma si può partire a calcolare il discriminante. Per trovare il valore di Δ basta fare Δ = b2 – 4ac = (-4)2 – 4[-5(1)] = 16 + 20 = 36. Il suo valore è maggiore di zero quindi è possibile applicare la regola di Cartesio.
Dato che nell’equazione i segni dei coefficienti a e b sono discordi mentre quelli di b e c sono uguali, si ha una variazione seguita da una permanenza. Dunque ci si può aspettare di avere due soluzioni di segno opposto dove quella positiva avrà un valore assoluto maggiore della negativa.
Vediamo se tale previsione è vera calcolando le due soluzioni. La formula da usare è x1,2 = -b ± √Δ/2a quindi x1,2 = 4 ± √36/2 => 4 + 6/2 = 5 per la prima soluzione e 4 -6/2 = -1 per la seconda soluzione. Fra di loro le due soluzioni hanno segno opposto e 5 è maggiore di 1 quindi la regola ha funzionato.
Il caso delle equazioni parametriche
Se non si conoscono i valori numerici dei coefficienti la regola di Cartesio può comunque dare un aiuto. Vediamo un’equazione parametrica come x2 + 4kx + 4k2 = 0. In questo caso calcolando il delta si ottiene 0, quindi si hanno due soluzioni coincidenti. Bisogna però capire quale sarà il loro segno.
Questo dipende essenzialmente dal valore di k. In caso il parametro sia maggiore di 0 (k > 0) infatti si avrebbero tutti segni uguali e positivi all’interno dell’equazione. Due permanenze sono associate a due radici negative. In caso invece si abbia k < 0 allora il segno di b sarebbe negativo portando a due variazioni. E perciò due radici coincidenti e positive.
