Quadrato magico: definizione, proprietà e metodi di costruzione
Tutti abbiamo visto almeno una volta un quadrato magico, magari senza sapere che si chiamasse così. Si tratta di una tabella che ha numero di caselle variabile inventata come passatempo nell’antica Cina, dove si sa che venivano disegnati già nel VI secolo a.C. In Europa arrivarono solo molto più tardi, probabilmente intorno al XIII secolo d.C., perché compaiono in alcuni scritti spagnoli dell’epoca.
Il primo italiano che li nomina invece fu Paolo Dagomari, che oltre a essere un famoso matematico era appassionato di astrologia. Ne disegnò alcuni attribuendo ciascun modello a uno dei corpi celesti che si credeva influenzasse la vita degli uomini. Due di questi per esempio divennero simbolo del Sole e della Luna.
Qual è la definizione di quadrato magico
Il principio alla base di questo elemento è che si tratta di una disposizione di numeri naturali all’interno di una tabella di forma quadrata. Questa contiene lo stesso numero di righe e colonne, quindi possiamo avere tabelle 3×3, 4×4 e così via. All’interno della griglia lo schema con cui si scrivono i numeri si costruisce facendo sì che la somma delle colonne, delle righe e delle diagonali sia sempre uguale.
Il risultato comune restituito da tutte le righe e le colonne ha una definizione emblematica, ovvero costante di magia.
Invece il numero di caselle che troviamo in ogni colonna o riga è l’ordine della tabella e si indica con la lettera n. Tutti i numeri che si scrivono all’interno delle caselle devono essere diversi fra loro. In tutto all’interno della tabella si andranno a scrivere numeri pari a n2.
Quando la sequenza che si scrive comprende i numeri naturali compresi fra 1 e n2 senza saltarne nessuno si parla di quadrato magico perfetto. Altrimenti è possibile inserire numeri interni a un intervallo definito, che ha come limite superiore un valore molto inferiore alla costante di magia della tabella. Il numero di questi quadrati che è possibile costruire è infinito, variando il numero di righe e colonne.
Per studiare la loro progettazione bisogna distinguere fra i quadrati di ordine pari e quelli di ordine dispari. Per trovare la costante di magia si utilizza la formula Mn = n(n2 + 1)/2.
Come progettare una tabella di ordine dispari
Impariamo ora a costruire un quadrato magico con numero di righe e colonne dispari. I sistemi possibili sono diversi, ma il più usato si chiama metodo siamese. Il modello più noto di questo gioco matematico è un quadrato perfetto di ordine dispari, quello con 3 colonne e 3 righe, ed è quello che useremo come esempio. Si può iniziare sistemando il numero 1 (o il primo numero) al centro della riga più in alto.
Da qui dobbiamo procedere a inserire le cifre successive fino a 9. Per inserirle ci sono diverse posizioni che possono funzionare, ma la linea di massima è di spostarsi in basso a destra o in alto a seconda di dove si è posizionato il numero precedente. Se la posizione che rispetta questi criteri è occupata allora si scrive la cifra sotto l’ultima che si è scritta.
Quando si costruisce questa tabella con i numeri da 1 a 9 la costante di magia è sempre 15. Una disposizione possibile vede nella riga in basso le cifre 3, 5 e 7 da sinistra verso destra, sopra le quali troviamo il 4, il 9 e il 2 nello stesso ordine. Infine sulla riga più in alto con l’1 al centro sulla sinistra possiamo mettere il numero 8 e a destra il 6.
Costruire un quadrato magico con ordine pari multiplo di 4
Si procede scrivendo la sequenza di numeri ordinata che va da 1 a n2 fino a completarle tutte. Dopodiché ognuna delle caselle del quadrato magico tagliata dalla diagonale andrà cancellata. Il numero scritto in precedenza (che indicheremo con m)andrà sostituito con un altro che rispetti una condizione precisa, ossia che che sia il risultato dell’espressione n2 + 1 – m.
Un esempio è un quadrato magico con n = 8, che possiamo suddividere in quattro quadrati con n = 4. In questo caso si dovrebbero scrivere i numeri da 1 a 64 per completare le caselle e poi procedere come indicato. Dato che nella prima casella in alto a sinistra ci sarebbe scritto il numero 1 seguendo la regola indicata dovremo sostituirlo con l’ultimo numero, cioè 64 (64 + 1 – 1).
