Poligoni inscritti e circoscritti: risoluzione dei problemi in geometria
In Geometria i poligoni inscritti e circoscritti sono una categoria di figure bene definita, con tanto di proprietà e formule. Perché un poligono possa essere contenuto in una circonferenza con i suoi vertici su di essa infatti servono proporzioni e angoli precisi. E lo stesso vale perché al suo interno si possa disegnare una circonferenza tangente ai suoi lati.
Studiando queste proprietà è possibile non solo capire come disegnare queste figure ma si facilita anche la risoluzione di alcuni problemi di Geometria.
Poligoni inscritti e circoscritti: cosa sono
Partiamo dalle definizioni dei due concetti. Si parla di poligono inscritto in una circonferenza se questo ha tutti i suoi vertici che coincidono con altrettanti punti della circonferenza stessa. Per quanto riguarda il cerchio che contiene questa figura esso si dice circoscritto al poligono. Unendo il centro del cerchio con uno qualsiasi dei vertici della figura inscritta si ottiene il suo raggio.
Al contrario un poligono circoscritto ad una circonferenza è una figura che può contenere una circonferenza che risulti tangente a tutti i suoi lati. Come si nota da queste due definizioni i poligoni inscritti e circoscritti rappresentano situazioni fra loro opposte, cosa che diventa anche più evidente se li si rappresenta graficamente. La circonferenza interna di dice inscritta nel poligono.
Passando ad altre definizioni, conviene spiegare anche cosa siano l’incentro e il circocentro. L’incentro non è altro che il centro del cerchio inscritto, che inoltre coincide con il punto di incontro delle bisettrici del poligono. Il circocentro invece non è che il centro del cerchio circoscritto, e coincide con il punto di incontro degli assi di simmetria della figura contenuta al suo interno.
Prima di passare alle proprietà c’è una precisazione da fare sui poligoni che si possono inscrivere o circoscrivere, ed è che devono essere convessi. Una figura concava per la sua stessa forma non si presta a nessuna delle due azioni perché forma una conca al proprio interno.
Le proprietà dei poligoni che si possono inscrivere (poligoni inscritti)
Tra i poligoni inscritti e circoscritti bisogna prestare una particolare attenzione ai triangoli, perché tutte le figure con tre lati si possono inscrivere in una circonferenza. Non importa che si tratti di triangoli scaleni, rettangoli, isosceli o equilateri, perché hanno tutti in comune questa proprietà.
Nel caso dei triangoli rettangoli c’è una particolarità: si possono inscrivere anche all’interno di una semicirconferenza. Questo perché il circoncentro, ossia il centro del cerchio che contiene la figura, cade a metà dell’ipotenusa. L’ipotenusa è il lato maggiore di questo triangolo, e perciò diventa il diametro del cerchio circoscritto. Ma i poligoni inscritti e circoscritti non hanno sono tre lati.
Per quanto riguarda i quadrilateri, per poter essere inscritti devono avere gli angoli opposti supplementari (somma pari a 180°). Questa proprietà ce l’hanno di default i quadrati e i rettangoli, che hanno tutti e 4 gli angoli retti. Non vale invece per il rombo, che ha due angoli ottusi e due acuti, opposti fra loro. Di conseguenza la loro somma sarà sempre maggiore o inferiore a 180°.
Allo stesso modo neanche i parallelogrammi e i trapezi rettangoli possono avere i propri vertici coincidenti con i punti di una circonferenza. Il parallelogramma perché per gli angoli presenta una situazione analoga al rombo, mentre il trapezio rettangolo ha due soli angoli retti, adiacenti allo stesso lato e non opposti.
Le proprietà dei poligoni che si possono circoscrivere (poligoni circoscritti)
Per completare il quadro sui poligoni inscritti e circoscritti passiamo ai secondi per capire se debbano avere le stesse caratteristiche. Prima di tutto bisogna precisare che la circonferenza inscritta è tangente a tutti i lati del poligono la distanza fra il centro del cerchio e i suoi lati è il raggio.
A questo punto esaminiamo le diverse classi di quadrilateri. Il quadrato ha i lati tutti uguali quindi questa condizione è soddisfatta, mentre il rettangolo li ha uguali a due a due ma quelli opposti sono congruenti, quindi non rispetta questa regola. I rombi hanno a loro volta i lati tutti della stessa lunghezza, quindi possono contenere una circonferenza tangente a tutti i segmenti.
